Historia de las Matemáticas

Discutiremos más adelante si la ecuación de Pell tiene el nombre correcto. Queremos simplemente decir: ¿Contribuyó Pell en algo al estudio de la ecuación de Pell? No hay duda alguna de que la ecuación había sido estudiada a profundidad por cientos de años antes del nacimiento de Pell. De hecho, la primera contribución se debe a Brahmagupta y fue hecha unos mil años antes de la época de Pell y es en este punto en el que empezamos nuestro estudio de su historia.

Digamos primero qué es la ecuación de Pell. Estamos hablando de la ecuación cuadrática indeterminada

nx² + 1 = y²

que también puede escribirse como

y² - nx² = 1

donde n es un entero dado y estamos buscando soluciones enteras (x, y).


Ahora bien, aunque es justo decir que Brahmagupta fue el primero en estudiar esta ecuación, es igualmente posible ver que autores anteriores habían estudiado problemas relacionados con ella. Para mencionar brevemente algunos: Diofanto examina problemas relacionados con la ecuación de Pell y podemos reducir el 'acertijo del ganado' de Arquímedes a resolver la ecuación de Pell aunque no hay evidencia de que Arquímedes haya hecho esta conexión.

Notemos primero que

(b² - na²)(d² - nc²) = (bd + nac)² - n(bc - ad)²

y que

(b² - na)(d² - nc²) = (bd - nac)² - n(bc - ad)

De aquí podemos ver que si

b² - na² = 1 y d² - nc² = 1

entonces

(bd + nac)² - n(bc + ad)² = 1

y

(bc + nac)² - n(bc - ad)² = 1.

Dicho de otro modo, si (a, b) y (c, d) son soluciones a la ecuación de Pell, entonces también lo son (bc + ad, bd + nac) y (bc - ad, bd - nac).

Este hecho fundamental se generaliza fácilmente para dar el lema de Brahmagupta, cual dice que si (a, b) y (c, d) son soluciones enteras a 'ecuaciones del tipo de la Pell' que tienen la forma

na² + k = b² y nc² + k′ = d²

entonces

(bc + ad, bd + nac) y (bc - ad, bd - nac)

son ambas soluciones enteras de la 'ecuación tipo Pell'

nx² + kk′ = y².

La demostración que hemos dado fue desarrollada por matemáticos europeos del siglo XVI (y comentaremos sobre ella más adelante en este artículo), pero el lema de Brahmagupta fue descubierto por Brahmagupta en 628 d. C. El método era llamado samasa por los matemáticos indios pero nosotros lo llamaremos 'el método de composición'. De hecho, este método de composición le permitió a Brahmagupta hacer varios descubrimientos fundamentales sobre la ecuación de Pell.

Una de las propiedades que dedujo fue que si (a, b) satisface la ecuación de Pell, entonces también lo hace (2ab, b2 + na2). Esto se sigue inmediatamente al aplicar el método de composición a (a, b) y (a, b). El método puede por supuesto volver a aplicarse a (a, b) y (2ab, b2+ na2) para obtener otra solución y Brahmagupta en seguida se dio cuenta de que podía generar muchas soluciones de la ecuación de Pell a partir de una sola.

Esta no fue la única forma en que Brahmagupta usó el método de composición. También se dio cuenta, usando un argumento similar al que acabamos de dar, que si x = a, y = b es una solución de nx² + k = y² entonces, aplicando el método de composición a (a, b) y (a, b), se obtenía a (2ab, b² + na²) como una solución de nx² + k = y² por lo que, al dividir entre k² se tiene

x = 2ab/k, y = (b² + na²)/k

como una solución a la ecuación de Pell nx² + k = y².

¿En qué ayuda esto? Estos valores de x y y no parecen enteros. Pero si se toma k = 2 entonces, como (a, b) es una solución de nx² + k = y², tenemos que na² = b² - 2. Por lo tanto,
x = 2ab/2 = ab,
y = (b² + na²)/2 = (2b² - 2)/2 = b² - 1

y ésta es una solución entera de la ecuación de Pell. Si k = -2, entonces funciona esencialmente el mismo argumento mientras que para k = 4 y k = -4, entonces un método más complicado, basado en el método de composición, muestra que se pueden encontrar solucion esenteras a la ecuación de Pell. Así que Brahmagupta pudo demostrar que si podía encontrar una pareja (a, b) que 'casi' cumpliera con la ecuación de Pell en el sentido de que na² + k = b² donde k = 1, -1, 2, -2, 4 o -4, entonces podía encontrar una solución entera a la ecuación de Pell, y por consecuencia, podía encontrar muchas otras. Muchas veces lograba encontrar soluciones por ensayo y error que funcionaban para uno de esos valores de k así que en muchos casos pudo dar soluciones.

Por ejemplo, si intentamos resolver 23x² + 1 = y², vemos que a =1 y b = 5 satisfacen 23a² + 2 = b² por lo que, usando el argumento anterior, x = 5, y = 24 cumple con la ecuación de Pell. Aplicando el método de composición a la pareja (5, 24) se tiene

x = 2×5&$215;24 = 240, y = 24² + 23$#215;5² = 1151

como otra solución. Volviéndolo a aplicar, el método da

x = 11515, y = 55224

y otra más

x = 552480, y = 2649601

etc.

Entre los ejemplos que da Brahmagupta está una solución de la ecuación de Pell

83x² + 1 = y²

donde nota que la pareja (1, 9) satisface

83×1² - 2 - 9²

y aplica su método para encontrar la solución

x = 9, y = 82.

Ahora podemos generar una secuencia de soluciones (x, y):

(9, 82),
(1476, 13447),
(242055, 2205226),
(39695544, 361643617),
(6509827161, 59307347962),
(1067571958860, 9726043422151),
(175075291425879, 1595011813884802)
etc.

No podemos más que maravillarnos de este fabuloso trabajo realizado por Brahmagupta en 628 d. C.

El siguiente paso hacia delante fue tomado por Bhaskara II en 1150. Descubrió el método cíclico, llamado chakravala por los Indios, que era un algoritmo para producir una solución a la ecuación de Pell nx² + 1 = y² empezando desde una pareja 'cercana' (a, b) tal que na² + k = b². Podemos suponer que a y b son coprimos, ya que de otra forma podríamos dividir a cada uno entre su máximo común divisor y obtener una solución 'más cercana' con una k menor. Claramente, a, k son entonces primos entre sí también.

El método se basa en una observación simple: que para cualquier m, (1, m) satisface la 'ecuación tipo Pell'

n 1² + (m² - n) = m².

Bhaskara II ahora aplica el método de composición de las parejas (a, b) y (1, m) para obtener n(am + b)² + (m² - n)k = (bm +na)².

Dividiendo entre k notamos que

x = (am +b)/k, y = (bm + na)/k

es una solución a

nx² + (m² - n)/k = y².

Ya que a, k son primos entre sí, podemos escoger m tal que am + b sea divisible por k. Bhaskara II ahora sabe (pero no da prueba alguna) que cuando m se escoge de tal forma que am + b es divisible por k, entonces m² - n y bm + na también lo son. por lo tanto, con esta elección de m encuentra soluciones enteras

x = (am + b)/k, y = (bm + na)/k

para la 'ecuación tipo Pell' nx² + (m² - n)/k = y², donde (m² - n)/k es también un entero.

Después, Bhaskara II sabe que hay un número infinito de m tales que am + n es divisible entre k. Escoge aquella que hace que m² - n sea tan pequeño en valor absoluto como sea posible. Si (m² - n)/k toma uno de los valores 1, -1, 2, -2, 4, -4, entonces se puede aplicar el método de Brahmagupta para encontrar una solución a la ecuación de Pell nx² + 1 = y². Si (m² - n)/k no toma ninguno de esos valores, entonces hay que repetir el proceso empezando esta vez con la solución x = (am + b)/k, y = (bm +na)/k para la 'ecuación tipo Pell' nx² + (m² - n)/k = y² exactamente en la misma manera como la que se aplicó en el proceso para na² + k = b². Bhaskara II sabía (seguramente por experiencia más que por tener una demostración) que el proceso termina después de un número finito de pasos. Esto sucede cuando se llega a una ecuación de la forma nx² + t = y², donde t toma uno de los valores 1, -1, 2, -2, 4, -4.

Bhaskara II da ejemplos en Bijaganita y el primero que vemos es

61x² + 1 = y².

Usando el método descrito arriba, escoge m tal que (,i>m + 8)/3 es un entero, asegurándose que m² - 61 sea tan pequeño como se pueda. Tomando m = 7 obtiene

x = 5, y = 39

como una solución a la 'ecuación tipo Pell' nx² - 4 = y². Pero esta es una ecuación que el método de Brahmagupta resuelve dando

x = 226153980, y = 1766319049

como la menor solución a 61x² + 1 = y².

¿Por qué sospechamos que Bhaskara II no tenía una demostración del método? Hay al menos dos razones. Primero, la demostración es larga y difícil y parecería estar más allá de las matemáticas del siglo XII. En segundo lugar, el algoritmo siempre encuentra una solución a la ecuación de Pell después de un número finito de pasos sin detenerse cuando se llega a una ecuación del tipo nx² + k = y² con k = -1, 2, -2, 4 o -4 y después se aplica el método de Brahmagupta. Si la experiencia con el algoritmo es nada más por medio de ejemplos entonces, sabiendo como proceder cuando se llega a k = -1, 2, -2, 4 o -4, resulta natural cambiar al método de Brahmagupta en ese punto. Sin embargo, cuando uno escribe una demostración, debería quedar claro que el algoritmo de cambiar al método de Brahmagupta no es necesario nunca (aunque puede llegar a la solución más rápido).

La siguiente contribución a la ecuación de Pell fue hecha por Narayana quien, en el siglo XIV, escribió un comentario sobre el Bijaganita de Bhaskara II. Narayana dio algunos nuevos ejemplos sobre el método cíclico. Aquí están dos de ellos:

103x² + 1 = y².

Eligiendo a = 1, b = 10, Narayana obtiene

103×1² - 3 = 10².

Escogiendo m tal que m + 10 sea divisible entre -3 con m² - 103 tan pequeño como sea posible lleva a m = 11 y se obtiene

103×7² - 6 = 71².

En seguida se debe escoger m tal que 7m + 71 sea divisible por -6 y que m² - 103 sea tan pequeño como sea posible. Tomando m = 7 para obtener la ecuación

103×20² + 9 = 203².

Continuando, escoger m tal que 20m + 203 sea divisible por 9 y que m² - 103 sea lo más pequeño posible. Tomar m = 11 para obtener la ecuación

103×47² + 2 = 477².

Ahora Narayana aplica el método de Brahmagupta, en la forma explicada antes para las ecuaciones con j = 2, para obtener las soluciones

x = 22419, y = 227528.

Su siguiente ejemplo es una solución de la ecuación de Pell

97x² + 1 = y²

que lleva sucesivamente, aplicando el método cíclico, a las ecuaciones

97×1² + 3 = 10².
97×7² + 8 = 69².
97×20² + 9 = 197².
97×53² + 11 = 522².
97×86² - 3 = 847².
97×569² - 1 = 5604².

Finalmente, Narayana aplica el método de Brahmagupta a esta última ecuación para obtener la solución

x = 6377352 y y = 62809633.

Ahora bien, las brillantes ideas de Brahmagupta, Bhaskara II y Narayana eran totalmente desconocidas para los matemáticos europeos el siglo XVII. El interés europeo empezó en 1657 cuando Fermat lanzó un reto a los matemáticos de Europa. Fermat escribió:

Esperamos estas soluciones, las cuales, si Inglaterra o Bélgica o la Galia Celta, no las producen, entonces la Galia Narbonesa lo hará

¡La Galia Narbonesa, por supuesto, era el área alrededor de Toulouse en la que vivía Fermat! Uno de los problemas-reto de Fermat era el mismo ejemplo de la ecuación de Pell que había sido estudiado por Bhaskara II 500 años antes, es decir, encontrar las soluciones a

61x² + 1 = y².

Varios matemáticos participaron en el reto de Fermat, en particular Frenicle de Bessy, Brouncker y Wallis. Siguió un intercambio de cartas entre estos matemáticos durante 1657-58 que Wallis publicó en Commercium epistolicum en 1658. Brouncker descubrió un método para resolverlo que es esencialmente el mismo que el método de fracciones continuas¹ que fue desarrollado rigurosamente después por Lagrange. Frenicle de Bessy tabuló las soluciones de la ecuación de Pell para todas las n hasta 150, aunque nunca lo publicó y sus esfuerzos se han perdido. Retó a Brouncker quien afirmaba poder resolver cualquier ejemplo de la ecuación de Pell para resolver

313x² + 1 = y².

Brouncker encontró las soluciones más pequeñas, usando su método, que son

x = 1819380158564160, y = 32188120829134849

y se las envió a Frenicle de Bessy diciendo que encontrarlas le había llevado solamente 'una o dos horas'.

En Commercium epistolicum, Wallis dio dos métodos para demostrar el lema de Brahmagupta que son esencialmente equivalentes al argumento que dimos al inicio de este artículo basado en el resultado

(b² - na²)(d² - nc²) = (bd + nac)² - n(bc + ad)².

En 1658, Rahn publicó un libro de álgebra que contenía un ejemplo de la ecuación de Pell. Este libro fue escrito con la ayuda de Pell y es la única conexión que se conoce entre Pell y la ecuación que lleva su nombre.

Wallis publicó su Tratado sobre álgebra en 1685 y el capítulo 98 de esa obra está dedicado a dar métodos para resolver la ecuación de Pell basados en el intercambio epistolar publicado en el Commercium epistolicum en 1658. Sin embargo, en su texto de álgebra Wallis puso todos los métodos en forma estándar.

Debemos hacer notar que para ese momento varios matemáticos habían afirmado que la ecuación de Pell nx² + 1 = y² tenía soluciones para toda n. Wallis, describiendo el método de Brouncker, había hecho esa afirmación, como lo había hecho Fermat cuando hizo comentarios sobre las soluciones propuestas a su reto. De hecho, Fermat afirmó, correctamente por supuesto, que para cualquier n, la ecuación de Pell tenía infinitas soluciones.

Euler dio el lema de Brahmagupta y su demostración en una forma similar a la que hemos dado antes. Él conocía, por supuesto, el trabajo de Brouncker sobre la ecuación de Pell según lo presentó Wallis, pero no sabía de las contribuciones de los matemáticos indios. Dio las bases del acercamiento de fracciones continuas a la solución de la ecuación de Pell, la cual fue pulida por Lagrange en 1766. La otra contribución importante de Euler fue darle a la ecuación el nombre de 'ecuación de Pell' y se cree por lo general que le dio ese nombre porque confundió a Brouncker con Pell, creyendo que las contribuciones importantes que había reportado Wallis como debidas a Brouncker, eran en realidad trabajo de Pell.

Lagrange publicó sus Añadidos a los Elementos de álgebra de Euler en 1771 y aquí se encuentra su rigurosa versión del acercamiento por fracciones continuas de Euler a la ecuación de Pell. Esto estableció rigurosamente el hecho de que para toda n, la ecuación de Pell tiene infinitas soluciones. La solución depende de la expansión en fracciones continuas de √n. En la fracción continua de la raíz cuadrada de un entero, los mismos denominadores aparecen periódicamente. Lo que es más, el patrón en casi toda la secuencia recurrente es 'palindrómico', es decir, hasta el último elemento, la segunda mitad de la secuencia periódica es la primer mitad en reversa. El último número de la secuencia recurrente es el doble de la parte entera de la raíz cuadrada.

Por ejemplo, √19 tiene la expansión en fracciones continuas



que es recurrente cada 6 fracciones. El término inmediatamente anterior al punto en el que se repite es ¹⁷⁰/₃₉ y la teoría de Lagrange dice que

x = 39, y = 170

será la solución más pequeña a la ecuación de Pell

19x² + 1 = y².

Para encontrar la serie infinita de soluciones involucra potencias de 170 + 39√19. Por ejemplo,

(170 + 39√19)² = 57799 + 170 + 13260√19

y

x = 4508361, y = 19651490

como la siguiente solución. Aquí están las primera potencias de (170 + 39√19), empezando con su cuadrado, que dan las primeras soluciones a la ecuación 19x² + 1 = y².

57799 + 13260√19
19651490 + 4508361√19
6681448801 + 1532829480√19
2271672940850 + 521157514839√19
772362118440199 + 177192022215780√19
262600848596726810 + 60244766395850361√19
89283516160768675201 + 20483043382566906960√19

Aunque el acercamiento por medio de fracciones parciales para resolver la ecuación de Pell es muy buena para valores pequeños de n, la dificultad del método ha sido analizada para ver si es el más eficiente para n grandes. Un método con tiempo de convergencia polinomial sería un algoritmo tal que el tiempo que toma para obtener resultados está acotado por una potencia fija de log n. El método de fracciones continuas no es un algoritmo de orden polinomial, y de hecho se sabe ya que no existe ningún algoritmo de este orden para resolver la ecuación de Pell.


Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Notas:

1. La expansión en fracciones continuas de un número r es una expresión que tiene la forma:
   
   
   Si r es un número racional, esta expansión termina.

Bibliografía

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   Artículos
   
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